第三百四十二章 香农的信息熵 (4 / 10)
        当n=10000时，至少有99.1%的概率这个平均值很接近1/3。

        当n=100000时，至少有99.9%的概率这个平均值很接近1/3。

        如果把“很接近1/3”理解为跟1/3相差不到0.02，那么：

        当n=1000时，至少有44.4%的概率这个平均值很接近1/3。

        当n=10000时，至少有94.4%的概率这个平均值很接近1/3。

        当n=100000时，至少有99.4%的概率这个平均值很接近1/3。

        当n=1000000时，至少有99.9%的概率这个平均值很接近1/3。

        现在展开你想象的翅膀，你应该看到当n变成无穷大的时候，这个平均值就不再是“几乎总是很接近1/3”，而是“就是1/3”了！

        至此同学们可能已经体会出俺极其考究、极负责任的“几乎总是很接近”了吧。这里的情怀还是让俺带你们领略一下吧。老千掷出的序列当然是随机的、不确定的、没有规律的。这个序列的平均数虽然也在1/3周围随机跳动，但却随着n的增大越发确定起来。当n很小、她就在你跟前的时候，变化多端、捉摸不定的她让你无法看清；当n增大的时候，她渐行渐远，但她在风中颤动的身影却在你记忆的相机里慢慢聚焦，越来越清晰；直到她消逝在无限的远方，她竟定格成一幅永恒而又无比真切的画面......

        学霸们可能会觉得俺太矫情了：不就一个简单的大数定理吗，有必要这么忽悠吗？其实俺也觉得自己有些矫情。但看完本文之后，俺请你再回头体会一下大数定理的情怀。

        “二十个问题”游戏的准确规则及特例

        用概率论武装一下之后，同学们应该已经认识到，在“二十个问题”游戏中俺心里想的神秘数字其实就是一个随机变量X。我们可以假设它的取值范围S={1，2，…，M}和概率分布函数P(x)都已知。当然在实际情况下我们未必真知道P(x)，但往往可以大致估计这个函数。如果对这个分布函数我们一无所知，我们不妨认为P(x)是个均匀分布。

        对于任意一个给定的问问题策略，如果俺心里的神秘数字是x，我们把所需的问题个数记作L(x)。比如M=8，而我们用前面提到的那个从1问到7的策略问问题，我们就会得到：

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