第四百五十八章 保罗·潘勒韦的奇点理论 (2 / 2)
        莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的结论：他首先设想质点有一个垂直于OA且不为0的速度VA，因此它的运动轨迹会是一个焦点为O，长轴为AA'的椭圆。接着，他减小速度VA，直到它变成0，这样椭圆就会不断变扁，这时，点A'就会不断接近点O。当椭圆扁到极限时，椭圆轨道上的运动就会变为点A和点O之间来回的直线运动，完全不一样了。

        通过把轨道的几何形状和点P的运动速度推向极限，欧拉得到了这个奇特的结论。当然，他这个取极限的方法也没什么根据。而且就像达朗贝尔那样，欧拉也设定O是抽象的几何点，没有任何实在物体，而要有个物体的话，至少在某种程度上能够证明点P回弹是合理的。此外，这个解释显然给引力中心赋予了一种斥力，一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论。他们不理解，为什么每颗行星都会花费一半的时间远离吸引着它的太阳。

        拉普拉斯：模棱两可的调和

        像欧拉和达朗贝尔这样两个当时最杰出的理论学者，却在这样一个看起来十分普通的力学问题上得出了相反的结论。显然，这个问题并不简单。但毫无疑问，他们的后辈很快会尝试终结这场科学争论。1799年，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimonLapce），这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》（Traitédeméiquecéleste）一书中阐述了他的观点。

        拉普拉斯先是回顾了不断压扁椭圆，通过取极限来计算物体落向引力中心的运动规律的方法。接下来，他强调：“朝向焦点的椭圆运动（原文如此）与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别。在前一种情况下，物体会越过焦点，然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下，物体会经过焦点，然后回到起始点。若在远日点（点A），物体具有一个运动轨迹切线方向的速度，不管这个速度多小，它都会引起这种差异。但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间。”

        不论是原文，还是把笔误“椭圆运动”更正为“直线运动”之后，这段话都显得十分模糊。靠着不指名道姓地宣称达朗贝尔（前一种情况）和欧拉（后一种情况）都是对的，拉普拉斯似乎完成了一个壮举，调和了不可调和的矛盾。实际上，虽然他对达朗贝尔的结论没有任何异议，但是他使用了欧拉的证明方式。他引入了无穷扁的椭圆这一有趣的概念，意思就是说，这是一种我们能想象到的最扁的椭圆，但它没有彻底变扁，没有变成欧拉所说的线段。拉普拉斯始终在他的言论中保持着一种模棱两可，他说“物体达到焦点”，但严格来说物体不会经过焦点，因为它的轨迹是一个椭圆。最后，这个惊人的言论虽然有明显的笔误，但是人们认为他与达朗贝尔的观点是一致的，后者的结论在很长时间内都是主流观点。

        在《数学史》（Histoiredesmathématiques，1758）的第二卷中，让·艾蒂安·蒙蒂克拉（Jean-étienneMontuc）也对质点P向引力中心点O直线运动的问题进行了研究。他提到了牛顿，但没有提及欧拉，他也认为这种运动是一种极限情况下的椭圆运动，并总结道：“物体不会越过（引力中心）。”但是又他补充道：“我们也能确定它不会回头。因为没有任何能让它反向运动的因素。”蒙蒂克拉明确地反对了欧拉的结论，但是他也早就表达了对达朗贝尔结论的反对，因为在他看来，到达点O的质点P会停在那里。

        这个令人意想不到的观点，甚至比欧拉的观点更让人困扰，因为这意味着要在瞬间消除一个理论上无穷大的速度。实际上，蒙蒂克拉发现，假设与点O相距r的点P在一个与r2成反比的力f的作用下，不断靠近点O，那么当r趋近于0时，它的速度V会比这个力f增长得慢。因为，这个速度仅与r成反比。最后这一步论证是错误的，因为速度V实际上近似地与√r成反比。不过这一修正并不影响蒙蒂克拉的结论，也就是说，在点O无穷大的引力和速度的较量中，引力占据了上风。我们猜测，在蒙蒂克拉的时代，很少有人能够接受这种可能。然而，在随后的一个世纪他的结论被再次提起，依据是点P经过点O后速度变成了虚数，不过这一论证也被用来支持欧拉的结论，结果这个虚数速度是虚假的，因为计算出了错。

        点状黑洞

        这些理论讨论一直乏人关心，因为引力作用下的直线运动，在天上没什么实际应用价值，所以力学研究者并不放在心上，更别说这个物体落到引力中心的纯理论问题了。所以这个问题的最终答案很晚才被揭开，直到1930年，保罗·潘勒韦（PaulPainlevé）才在《巴黎综合理工大学力学教程》（Coursdeméiqueprofesséàl’écolepolyteique）的第一卷中做出解释。

        对于以无穷大的速度到达引力中心的运动质点，他指出，在这一瞬间之后，“问题就无法继续讨论下去了。”他没有像蒙蒂克拉那样尝试用数学方法证明质点会停止在引力中心，尽管后者看似在所有人之前找到了正确答案。质点会停止本身就是力学理论的一部分，而潘勒韦宣称在动点到达引力中心之后，经典力学就无能为力了。对于这一问题，点必须在引力中心停止，而所有对于此后运动情况的猜测都不具有科学价值。

        欧拉和达朗贝尔并没有预见到这样的结果，但要知道的是，即便到了潘勒韦的时代，称霸了两个世纪的牛顿力学在20世纪初遭到了相对论的挑战后，人们依然很难相信牛顿力学在预测运动质点到达引力中心后的情况时是无能为力的。

        经典力学无法预测引力中心会发生什么的确切原因在于，它不允许质点的轨迹穿过一个速度和受力都无法定义（例如无穷大）的点。因为这一点上的数据有问题，不能充当确定质点之后运动轨迹的初始条件。经典力学的有效性并没有什么问题。前文提到的保罗·阿佩尔对这个问题的解释，其实就是说，这个长久以来的“棘手的问题”，几乎没有困扰过力学家们，因为这已经超出了力学实际应用的范畴。在理性力学中，自由下落的质点的运动必然会停在这个奇点上，这个点就像一个点状的黑洞，最终会“吸收”掉这个质点。

        这样一个纯粹数学上的黑洞似乎与现代天体物理学关注的黑洞相去甚远。牛顿力学体系下，18世纪时就有人预言了后者的存在，最著名的就是拉普拉斯在《宇宙系统论》（Expositiondusystèmedumonde，1796）第二卷中的预测。天体物理学中的黑洞通常很大，例如恒星转化成的那些。它们甚至可能十分巨大，比如那些存在于星系中心的超大质量黑洞。但天体物理学也考虑到可能存在近乎点状的黑洞，比如那些可能出现在宇宙诞生瞬间、具有量子特性的原初微型黑洞。

        事实上，问题的关键在于如何理解这些奇点。质点以无穷大的速度到达引力中心，在那里迎来了数学上的终结。18世纪的学者们没有意识到，他们预测质点之后的运动，是在试图让质点重生。现在，不论遇到巨大的还是点状的黑洞，科学家都知道他们的理论到了极限。如果有人想要知道黑洞的内部发生什么，或是探究宇宙的诞生，他一定需要新的理论。

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