第四百四十五章 辛几何 (1 / 2)
        在19世纪早期，威廉·罗文·汉密尔顿发现了一种具有近乎神奇性质的新型几何空间。它把运动和数学编码成一个单一的、闪烁的几何物体。

        这一现象催生了一个叫做辛几何的领域。在过去的几十年里，它已经从一个小的见解集合发展成为一个动态的研究领域，与数学和物理的更多领域有着深刻的联系，比汉密尔顿所能想象的还要多。

        辛几何最终研究的是具有辛结构的几何空间。但是一个空间有一个结构到底意味着什么——更不用说这个特殊的结构了——需要一点解释。

        几何空间可以像防水面料一样松软，也可以像帐篷一样僵硬。西北大学的艾美·墨菲说：“防水布很有可塑性，但不管怎样，你可以用一堆树枝或脚手架来塑造它。”。“这让它变得更加具体。”

        结构最少的空间只是连接点的集合。直线是一维空间。球的表面是二维的。这些空间中缺乏结构意味着很容易在不从根本上改变它们的情况下使它们变形：扭曲线条，膨胀、缩进或扭曲球体，在研究这些非结构化空间的拓扑学家看来，它们仍然是一样的。

        剑桥大学的艾尔莎·基廷说：“就地形学家而言，如果你从一个球的表面开始，你可以随心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它对他们来说仍然是同一个空间。”他们对整体形状感兴趣。”

        当然，当数学家谈论空间变形时，他们并不是说要用手拉它。相反，它们用函数变换空间：一个点的坐标变成一个函数，一个新点的坐标就出来了。这些变换将空间的每一个点带到空间中的新点。这在数学上相当于晃动防水棉。

        您还可以向空间添加更多的结构。这种结构增强了空间包含的信息，但也限制了变形的方式。

        例如，您可以向球的表面添加度量结构，例如在地球仪上添加经度和纬度线。这种结构使测量两点之间的距离成为可能。但是一旦添加了这个度量，你就不能再在不破坏原有结构的情况下使球膨胀或缩进，因为这样你就改变了点与点之间的距离。例如，如果你使地球膨胀，纽约和伦敦会相距更远。

        辛结构是另一种可以添加的结构，它提供了一种测量空间面积的方法，并且只有在面积测量值保持不变的情况下，你才能改变空间的形状。

        汉密尔顿在研究诸如行星运动等物理系统时发现了第一个这样的空间。当行星在空间中移动时，它的位置是由三个坐标确定的，分别是x、y和z轴。这些点代表了行星所有可能的位置，形成了一个三维空间。

        汉密尔顿观察到，在三维空间的每一点上，你可以指定三个额外的坐标，来指定行星沿每个轴的动量。叫他们xm，ym和zm。现在你有六个坐标：****位置，****动量。这六个坐标定义了一个新的六维空间中的点。

        他的六维空间是一个辛结构空间的例子，因为它可以进行面积测量。这就是它的工作原理。

        在空间中的每一点上都可以画出六个“矢量”，或者有向箭头，它们对应着行星在矢量所指向的维度上的方向或动量。因为两个向量可以定义一个平行四边形——一个有面积的二维空间——我们可以取空间中的两个向量来测量一个面积。

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