第四百三十六章 格罗滕迪克连续与离散的对偶性 (1 / 2)
        现在，科学家对“奇点”已经习以为常，他们知道，这些点是自己的理论不再适用的地方。但

        18世纪的学者尚未意识到这一点，在探讨经典力学中一个非常简单的问题时，他们也遭遇了一个奇点。为了解决这个经典力学框架下实际上无法解决的问题，包括大数学家欧拉在内的学者们想出了一些稀奇古怪的方法，得出了十分荒谬的结论。科学家花费了一个世纪才认识到这种研究是徒劳的：在奇点，理论遭遇了其极限。

        在天体物理学中，黑洞是一个极为致密的时空区域，没有物质能从中逃逸，甚至连光都不行。这些特殊的天体代表了时空的奇点，它们是引力的数学理论——广义相对论无法描述的区域。奇点存在于许多数学领域中，我们在研究曲线和曲面、复变函数以及微分方程时常会遇到它们。如今，科学家知道奇点通常是超出他们的理论适用范围的。但过去并非如此，科学家最初遭遇奇点时，甚至给出了一些基于不合理论证的奇怪解决方案。18世纪时，著名数学家让·勒朗·达朗贝尔（JeanLeRondD‘Alembert）和莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在研究经典理论力学的一个简单问题时就遇到了奇点，这类似于一维空间中的一个点状黑洞，他们没有想到这个奇点会带来多大的困难。

        棘手的问题

        这个问题考虑的是一个质点向另一个质点下落的情况。在经典力学（也叫做牛顿力学）中，为了方便，我们往往借助假想的质点来考虑问题，即一个具有质量的几何点（没有体积或形状）。根据牛顿引力定律，空间中一个固定位置O（即引力中心）上的质点，对另一个与之相距r的质点P施加的引力与r成反比。在r≠0的情况下，这一点是成立的。但当r变为0时，质点P受到的引力就无法定义了，因此对于点P来说，点O便是奇点所在的位置。

        在这里，引力中心O被视为抽象的纯粹几何点，这个点上不存在任何物质实体。这是一种真实世界中不可能存在的情况。但这不妨碍我们考虑这样一个数学问题：质点P在O的引力（反比于r）作用下是如何运动的。

        对于这种条件下的质点运动，牛顿在《自然哲学的数学原理》中已经给出了一个模型：假设在某个给定时刻，质点P在O点之外运动，速度不为0且不在直线OP方向上，那么点P将会沿抛物线或双曲线运动，或者以椭圆轨道围绕O旋转，就像那些绕太阳公转的行星那样，并且这三种圆锥曲线的焦点都在O上。但真正让学者困扰的情况是，当质点P在质点O以外以0初速度释放时，它会直接落向点O。计算显示，点P会在有限时间内到达点O，此时它的速度会增加到无穷大。

        这之后呢？点P到达点O之后会发生什么呢？一方面，P似乎只能越过点O沿着这条直线继续运动，因为它此时运动速度极快。还有什么能比无穷大的速度更快呢？另一方面，随着点P不断接近点O，它受到点O的引力不断增大。到点P达到点O时，引力会增长至无穷大，这时点P就无法从点O逃逸出来。那么，无穷大的速度和并不亚于它的引力，哪一个会占据上风呢？

        经典力学领域的权威专家保罗·阿佩尔（PaulAppell）用他自己的方法解决了这个问题。在他的《经典力学教程》（Coursdeméiquerationnelle，1888），还有后来著名的《经典力学》（Traitédeméiquerationnelle，1893）中，他给了一个解释，指出质点P是不可能到达引力中心的，因为“这个运动物体接近点O时，速度无限增加，这显然是无法实现的：在这两个物体距离为0之前，它们会先发生碰撞。”但是这一解释根本没有回答上文提出的那个纯粹理论问题。我们都知道，在这个问题里，引力中心仅仅是一个几何学上的点。

        达朗贝尔的答案

        当时法国最伟大的数学家达朗贝尔，在他的《数学手册》（Opusculesmathématiques，1780）第七卷中论述了这一棘手的问题：“很显然，（质点P）会越过（引力中心），并不断远离，直到它与点O间的距离与它开始运动时的距离相等。之后，它将重复这个过程，不断振荡。”也就是说，运动物体P会在直线方向上以引力中心点O为中心来回振荡。实际上，达朗贝尔刚接触到该问题，就立刻毫不迟疑地得出了这样的结论：运动物体将会越过引力中心继续沿直线运动。他只从动力学方面考虑，由于物体在点O获得无穷大的速度，这个运动必将持续下去。但他没有考虑到，在点O，引力也会增加到无穷大。

        让·勒朗·达朗贝尔认为，在点A释放的质点受到引力中心O的吸引而运动时，会穿过点O，继续运动到点A关于点O的对称点A‘，然后再掉头回来，在点A和点A‘之间来回振荡。

        在1780年出版的著作中，达朗贝尔给出了质点振荡这个答案，但在同一本书中他也介绍了欧拉得出的另一个答案。欧拉，这位18世纪最著名的瑞士数学家先于他的法国同行，得出了一个达朗贝尔本身没有想到，但也不信服的结论。后者在书中写道：“欧拉先生在《力学》（Méique）一书中提出，一个直接落向（加速中心O点）的物体，当中心对它的作用力与距离的平方成反比时，会在到达（O）后原路返回。但很显然，这位伟大的几何学家在这点上是错误的。”

        毫无疑问，当时与欧拉关系疏远的达朗贝尔很乐于否定欧拉的结果，他称这个结论很荒谬。欧拉是怎样得出这个结论的，确实让人好奇，因它太反直觉了，竟然认为物体会在速度无穷大时突然掉头。这个结论没有考虑两个引起争议的无穷大量，不论是质点P在点O时沿下落方向的速度，还是它在这点受到的引力。

        欧拉的奇特结论

        借助牛顿曾经用过的方法，欧拉在用拉丁语编写的《力学》（Meica，1736）的第一卷中探讨了这一问题。首先，他假设在初始时刻，质点P位于点A，且有一个垂直于OA方向的初速度VA，因此它的移动轨迹将会是一个椭圆，长轴为AA‘，O是其中一个焦点。之后，欧拉假设垂直于OA的速度VA不断减小直到零。这样，椭圆就会不断变扁，同时点A‘会不断接近点O，当VA减为零时，椭圆会与线段OA重合。

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