第四百三十一章 引入空集Ø (2 / 2)
        “天下万物生于有，有生于无。”

        在集合论中，我们的最原始的“本源”集合，就是这个充满“柏拉图胡子”悖论的空集——“存在”一个包含“不存在”的集合——{}，或者或?，后者是挪威语或丹麦语的字母，由布尔巴基学派引入。只有这个集合，是所有其它集合构建的“本源”集合。这个空集公理，在策梅洛-弗兰克尔公理集合论中并不存在，因为这个公理可以从外延定理推导，但是其它集合论、例如Kripte-Ptek集合论则把空集公理作为独立公理。

        空集在集合论中作用非常独特，首先，从外延公理可知，空集是唯一的，换句话说，世界上只有一个“无”，而“有”则是无数多，例如“有一个”、“有两个”、“有N个”，因此我们说“所有”不说“所无”，计算机中有时用0或-1表示无，用其它任意值表示有，大概也对应着这个意思，单独的“无”对众多的“有”。第二、任何其它集合都会以空集作为自己的一个子集，换句话说，根据分类公理，“没有”、“不存在”可以是任何其它概念的下位概念；作为初学者，刚开始接受这个概念可能很别扭，但是一旦想通了就会觉得非常合理，为什么？留给你去思考吧！！

        有了空集作为我们构建集合的起点，我们还无法构建新集合，还需要另外一个公理作为工具，这个公理就是：无序对公理（axiofunorderedpair），又称配对公理（axiofpairing）：如果有两个集合，那么就会存在以这两个集合为唯二元素的集合。

        这个公理大致上就相当于《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物。”，告诉我们如何从一个集合构建两个集合，如何从“无”集合构建“有”集合。这个过程是这样的：

        1存在着唯一的空集合?；（空集合公理）

        2由无序对公理，我们可以构建：{?，?}=>{?}；（构建了新集合{?}）

        3由无序对公理，我们可以构建：{?，{?}}；

        4由无序对公理，我们可以构建：{?，{?}，{?，{?}}}

        ……

        通过这样的过程，我们可以构建无穷多个集合[1]。不过有人会问，就算用这样的方法可以得到多个集合，但是这些集合仅仅是由?或者以?为元素的集合构成的集合，如果我们想要构建其它元素的集合怎么办？很容易，利用分类公理，设定条件S(x)，就可以建立相应的子集合。例如：S(x):=x=a或x=b，翻译成汉语句子就是：给定的元素a和b具有S性质，那么根据无序对公理所得到的集合就是：{x∈A：S(x)}={a，b}，其中，“:=”的意思是“定义为”。

        这个构建过程有一点需要注意，所有集合的元素仍然是集合，并没有出现我们以前所看到的更直观的以有限数量的“个体”构成的集合。这里能说的就是，集合论、特别是公理集合论所讨论的集合概念，大部分都是包含其他集合作为元素的集合。

        [1]用这种方法构建的集合群，称作vonNeumannUniverse，我暂且译作“冯·诺依曼空间”，或者，为了减少不必要的误会与误读（与希尔伯特空间相混淆），干脆不译，称作“冯·诺依曼Universe”。对于“冯·诺依曼Universe”我们会在后面关于集合的势(cardinality)的话题中详细讨论。

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