第三百七十二章 杜勃维茨基-米柳金切锥 (1 / 2)
        瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基给在哥廷根的塔杜施·巴纳赫维奇写信，喜欢讨论很多关于集合论的问题。

        1916年，谢尔宾斯基说：“我发现了正规数。”

        巴纳赫维奇说：“什么是正规数？”

        谢尔宾斯基说：“这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。”

        巴纳赫维奇说：“是无理数这样的数字吗？”

        谢尔宾斯基说：“没错，就是数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。”

        巴纳赫维奇明白了这个“数字”指的是小数点前有限个数字，以及小数点后无穷数字序列。

        巴纳赫维奇说：“你如何去证明，这个是正规的？核心思想是什么？”

        谢尔宾斯基说：“x的数字中找到字串s的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。如果以任何b为底x都是正规，x称为正规数。”

        巴纳赫维奇说：“你的意思是随机导致的这种正规吗？但你如何去证明这个是随机的？”

        谢尔宾斯基说：“波莱尔—坎特利引理还记得吗？”

        巴纳赫维奇想起来，这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔—坎特利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。

        巴纳赫维奇说：“这就是把随机性有用在勒贝格测度上了。”

        谢尔宾斯基说：“他这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是我。非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。”

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