第三百四十二章 香农的信息熵 (7 / 10)
        当n取无穷大时，如果俺们能够计算出信息源里平均每个蹦出的随机变量最少需要多少比特来表示，这个数字不仅标记了最优的压缩效率，它同时还有着更深刻的物理意义：它跟序列的长度n无关，也跟编码方法无关；换言之，这个比特数只取决于信息源本身（即随机变量X或其分布P(x)）。因为这个比特数是由最优编码／解码方法实现的，它同时说明了两件事：

        1.只要解码端接收到的平均比特数不到这个数字（平均到每个随机变量上），不论用什么编码／解码方法都一定无法重建信息源里蹦出的随机序列。

        2.只要解码端接收到的平均比特数超过这个数字，就一定有一种编码／解码方法可以使解码端重建这个序列。

        这就是说，在平均意义上，你一定需要这么多比特来表达信息源里蹦出的每一个随机变量，而且只要这么多比特就够了！因此，这个比特数实际上就标注了这个信息源在以什么样的“速率”释放“信息”，或者说标注了这个信息源里蹦出的每个随机变量平均包涵了多少“信息”！

        下面俺们就来看看是否可以导出这个最小比特数。

        嗯，没错，终于要掀开她的红盖头了。等不及了吧。

        最小比特数

        还是二十个问题攒着玩吧。不过这次俺也不去想什么随机数了。俺就把之前例子里的那个老千找来，让他躲在俺身后不停地掷硬币。俺就把他掷出的0/1结果写在纸条上。等俺写完n个数的时候，就让你开始问问题。前面说过，这无非就是把这个老千掷硬币的结果当作一个信息源，对这个信息源做压缩。

        因为n很大很大，让我们先回顾一下大数定理的情怀：

        老千掷出的硬币序列的平均值几乎总是很接近1/3。

        根据俺之前对这句话不辞劳苦的解释，这句话也可以换一种说法，而且这种说法很重要（重要的事情说三遍！）

        老千掷出的序列几乎可以肯定有差不多n/3个1和2n/3个0！

        老千掷出的序列几乎可以肯定有差不多n/3个1和2n/3个0！

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